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函数一章基础知识

一、映射与函数：

（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：

如：若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个；到的函数有 个，若，则到的一一映射有 个。

函数的图象与直线交点的个数为 个。

二、函数的三要素： ， ， 。

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)

（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法：

①，则 ； ②则 ；

③，则 ； ④如：，则 ；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

如：已知函数的定义域是，求的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。

（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

求下列函数的值域：①（2种方法）；

②（2种方法）；③（2种方法）；

三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数）

复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；

f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法

应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）

平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)经过 平移得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量（ｍ，ｎ）平移的意义。

对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称

y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=f|x|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数）

伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

如：的图象如图，作出下列函数图象：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）；

（7）；（8）；

（9）。

五、反函数：

（1）定义：

（2）函数存在反函数的条件： ；

（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；

（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系： ；

（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

如：求下列函数的反函数：；；

七、常用的初等函数：

（1）一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；

（2）一元二次函数：

一般式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；

两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；

顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；

①一元二次函数的单调性：

当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

有三个类型题型：

(1)顶点固定，区间也固定。如：

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．

③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：

根的情况
等价命题	在区间上有两根	在区间上有两根	在区间或上有一根
充要条件

注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。

（3）反比例函数：

（4）指数函数：

指数运算法则： ； ； 。

指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

（5）对数函数：

指数运算法则： ； ； ；

对数函数：y= (a>o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论，要能够画出函数图象的简图。

注意：（1）与的图象关系是 ；

（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较。

（3）已知函数的定义域为，求的取值范围。

已知函数的值域为，求的取值范围。

六、的图象：

定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。

七、补充内容：

抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

①正比例函数

②； ；

③； ；

④ ；

函数一章要注意的问题

1． 函数的几个重要性质：

①如果函数对于一切，都有，那么函数的图象关于直线对称.

②函数与函数的图象关于直线对称；

函数与函数的图象关于直线对称；

函数与函数的图象关于坐标原点对称.

③函数与函数的图象关于直线对称.

④若奇函数在区间上是递增函数，则在区间上也是递增函数．

⑤若偶函数在区间上是递增函数，则在区间上是递减函数．

⑥函数的图象是把函数的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；

⑦函数(的图象是把函数的图象沿x轴向右平移个单位得到的；

⑧函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;

⑨函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向下平移个单位得到的.

⑩函数的图象是把函数的图象沿x轴伸缩为原来的得到的；

⑾函数的图象是把函数的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

2． 求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？

3． 函数与其反函数之间的一个有用的结论：

4． 原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．

5． 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？

6． 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)

10. 你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！

11. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.

12. 对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（）

13. 你还记得对数恒等式吗？（）

14. “实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

一直被往日志里粘贴图片的问题困扰着，一般的 HTML 在线编辑器都不支持截屏的图片直接粘贴，得先打开个图片软件保存到本地，再上传到网站才能插入日志；二是虽然所见即所得（WYSWYG）的HTML编辑器允许从其他网站直接拷贝/粘贴图片，却一般不自动保存到你的网站，一旦源地址改变，或者源网站不允许外链，就会出现难堪的空白，于是也不得不下载到本地，再上传到自己的网站……如果是图文混排的网页，会相当地麻烦！

现在好了，用了 Windows Live Write ，两个问题都解决了。
（Windows Live Write 的使用参见：http://5d0d.net/2009/03/25/%e7%94%a8-windows-live-writer-%e6%92%b0%e5%86%99-wordpress-%e6%97%a5%e5%bf%97/）

首先是截屏图片可直接在 WLW 中插入到日志，日志发布到网站后会自动上传到网站。这是截屏后 Ctrl + V 的：

第二个问题，虽然没有直接的解决，这是从网页 Ctrl + C 后 Ctrl + V 下来的，地址仍然是源网站的：

 
但是却可以通过 Word 稍微过渡一下，即：在源网站 Ctrl + C 后在 Word 文档中 Ctrl + V 一下，马上再在 Word 中 Ctrl + C ，此时再到 WLW 日志页面中 Ctrl + V 粘贴就没有问题了。

下面这幅是通过 Word 过渡了一下再拷贝的图片，看它的属性，在发布日志时 WLW 已经替我上传到 http://5d0d.net 中合适的位置了：

对于单幅图片这种方法看不出太大的优势，但对于图文混排的多图网页，就体现出它的优越了，关键在于，拷贝下来的网页往 Word 中粘贴，再粘贴到自己的日志，基本不破坏源网页图文混排的版式，虽然下来源网页的组图不是什么难事，但上传到自己网站时，要一个图一个图地找它在源网页中的插入位置绝对是个恶梦。

下面是从猫扑上随便抓来的测试页，看看效果吧：

 

==== 以下是 http://dzh2.mop.com/topic/readNewbie_9105355_0_0.html 页面的拷贝 ====

 

呵呵~~先声明一下，这是我一个爱好摄影的朋友上周末去雍和宫练习摄影时拍下的图片~~
很可惜，我没跟着一块去~~~当时他看见后第一时间电话通知我了~~挖哈哈哈啊~~征求他本人同意转载的~
so。。。。绝对独家~~~

小白区执行法官审核通过

(发帖时间:2009-03-24 11:31:43)

— huancrisma【幸福小窝】 传呼 | 【编辑】 【回复】

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【楼主】 (1):被发现了~~回眸一笑百媚生啊！

— huancrisma【幸福小窝】 传呼 道具 |【引用该楼并直接回复】

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【楼主】 (2):然后阿空格娇下意识地用手遮住了自己的脸
也许她对镜头已经太过敏感

— huancrisma【幸福小窝】 传呼 道具 |【引用该楼并直接回复】

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【楼主】 (3):阿娇拜佛的虔诚背影！！

— huancrisma【幸福小窝】 传呼 道具 |【引用该楼并直接回复】

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【楼主】 (4):她在祈祷什么？
复出成功？

— huancrisma【幸福小窝】 传呼 道具 |【引用该楼并直接回复】

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【楼主】 (5):阿空格娇看起来心情不错，与友人相谈甚欢，看来我之前并没有惹怒她。。。嘿嘿
（对焦失败）

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【楼主】 (6):手掌上的红色是上香时蹭的！！！！

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【楼主】 (7):素颜的她皮肤相当好！呵呵~~旁边的男的可能是助手

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【楼主】 (8):最后一张和我镜头的对视！嫣然一笑。。。。

— huancrisma【幸福小窝】 传呼 道具 |【引用该楼并直接回复】

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【楼主】 (9):总结:抛开其他的不说，单从外形来看阿娇和那些靠整容上位的明星们相比，多了份天然的灵气。。。。镜头下不施粉黛的她有种清新自然的美
至于她的纷纷扰扰，就要别人说去吧。。。。。。
ps：我不是她的粉，客观的评价而已，不赞成的同学们轻拍！

为什么要用 WLW 撰写 WP 日志？

1. 首先是 WLW 比 WP 自己的编辑器好用，简单举几个例子：
    – 可以将剪贴板中的图片直接粘贴到日志；
    – 像 Word 一样丰富的功能和简易，本来 WLW 和Word 就是一家的孩子；
    – 日志管理和修改更人性化、更方便。

2. 其次是在本地桌面写好上传比在 WP 里写速度快，是指操作的反映速度，预览速度…可不是你的打字速度。

怎样安装配置 WLW？

1. 首先在 WP 后台撰写设置中开启 XML-RPC  什么是XML-RPC 。

2. 下载 WLW 最新版本 在哪里下载？ 安装它（没什么可说的）。

3. 配置 WLW，主要是用户名和密码啦。

4. 没有第4了…开始享受用 WLW 写日志的快感吧！另本日志就是用 WLW 写的。